matematica: frazioni

  •  Dicesi unità frazionaria ciascuna delle parti uguali nelle quali si può suddividere una data unità
    .
  • Una o più unità frazionarie dello stesso tipo costituiscono, nel loro insieme, una frazione.

        Termini della frazione:

     3                  3 si chiama numeratore
4                 4 si chiama denominatore

                                      linea di frazione

 

                     La linea di frazione  indica che la quantità intera è stata divisa in parti uguali.

 

Il denominatore  indica  in quante parti uguali è stata divisa la parte intera

 

Il numeratore indica quante di queste parti si considerano.

ad esempio:        3           significa che una torta è stata divisa in quattro parti uguali e se ne sono                        4            prese tre.

Ogni frazione rappresenta il quoziente esatto della divisione fra il numeratore   e

    il denominatore.

 

                                             Classificazioni delle frazioni

Una frazione si dice propria quando il numeratore è minore del denominatore.

ad esempio:       3                 7    
5                 8

Una frazione si dice impropria   quando il numeratore è maggiore del denominatore.
( indica più di una quantità intera )

ad esempio:         9        è formata da       5      +    4     cioè da una quantità intera più quattro quinti                     5                                          5              5     di un’ altra quantità intera.

Una frazione si dice apparente  quando il numeratore è multiplo o uguale al denominatore.

ad esempio:       9                4   
3                2

Due frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano una stessa quantità ma che
hanno numeratori e denominatori diversi.

ad esempio:       7            21    
5           15     

                                                      Proprietà delle frazioni

  • Proprietà fondamentale o invariantiva delle frazioni.  Il valore di una frazione non cambia  moltiplicando o dividendo dove è possibile per uno stesso numero sia il numeratore che il  numeratore.

    ad esempio:           8   * 4             32    
    3   * 4             12

     Classi di equivalenza

    Appartengono a una classe di equivalenza tutte le frazioni equivalenti di una frazione.

    ad esempio:   Classe         8      [  8        16      24    ]
    3     [  3          6        9     ]


    Operazioni con le frazioni

    Addizione.-     La somma di due o più frazioni aventi uguale denominatore è uguale
    ha una frazione avendo per denominatore lo stesso denominatore e                                    per  numeratore la somma dei numeratori.

    Ad esempio:    15    +   8    =    15 +8   =     23  
    3          3             3               3

    Sottrazione.-    La differenza di due o più frazioni aventi uguale denominatore è  uguale una una frazione avendo per denominatore lo stesso denominatore e per
    numeratore la differenza  dei numeratori. 

      Ad esempio:    15    –   8    =    15 – 8   =     7  
3          3             3              3

 Se le frazioni hanno denominatori diversi per sommare o sottrarre ecco il procedimento:

  •  Si calcola il m.c.m. ( minimo comune multiplo ) dei denominatori.

  • Il minimo comune multiplo ottenuto diventa il denominatore di tutte le frazioni coinvolte

  •  Il minimo comune multiplo così ottenuto si divide per il primo denominatore e il risultato,   si moltiplica per il primo numeratore e così via

    Ad esempio:     7    –   8    =    
    4        6

    Per calcolare il m.c.m.  di due o più numeri, si scompongono in numeri in fattori primi e si prendono i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente.

    In questo caso:

    4|2
    2|2
    1|
    6|2
    3|3
    1|

    4 = 22
    6= 2*3
    m.c.m = 22  * 3 = 4 * 3 = 12

   Quindi il nuovo denominatore diventa 12

quindi 12 (m.c.m – nuovo denominatore ) : 4 (vecchio denominatore della prima frazione) * 7

( vecchio numeratore  della prima frazione) = 3 * 7 = 21    


12 (m.c.m – nuovo denominatore ) :6  (vecchio denominatore della seconda frazione)* 8

( vecchio numeratore  della seconda frazione)= 2 * 8 = 16

Quindi:

  21  – 16         =      5     
12                   12

       

 Moltiplicazione

Il prodotto di due o più frazioni è uguale ad una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

ad esempio:

 5  *      4       =  20
 3          7           21

  Divisione
Il quoziente di due frazioni si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’ inversa della seconda.

 Ad esempio:

 15   :      7      =  15     *    2     =    30
   3            2            3          7            21

   

                                                                   Numeri misti
Si dice numero misto la somma di un numero intero e di una frazione propria.

ad esempio: 5 +   3
                                       4

  Numero misto a una frazione impropria

Un numero misto è uguale da una frazione impropria avente lo stesso denominatore della parte  frazionaria. Il suo numeratore si ottiene moltiplicando la parte intera per il denominatore e  aggiungendo al prodotto ottenuto il numeratore della parte frazionaria.

Esempio:

3 +     4          =    15 + 4   = 19
             5                     5           5

Da una frazione impropria  a un numero misto

19    =                          19: 5 = 3  con il resto di 4
5

   Per trasformare una frazione impropria a un numero misto, come numero intero il
quoziente della divisione sommando una frazione propria come denominatore lo stesso
denominatore e per numeratore il resto della divisione.

Allora:  

19    =     3 +      4                       19: 5 = 3  con il resto di 4
  5                       5

                                                                   Una frazione ridotta ai minimi termini

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando i suoi termini sono numeri primi fra
di loro, e il loro Massimo comune divisore è uno.

Ad esempio:

 222    =                              222= 2 * 3 * 37
                         30                                        30= 2 * 3 * 5
M.C.D. = 2 * 3 = 6

222 : 6 =37              30: 6 = 5

  37     questa frazione è ridotta ai minimi termini.
    5

                                                               Potenza di una frazione

Per elevare a potenza una frazione si elevano a quella potenza sia il numeratore che il denominatore.

                                                                     Considerazioni

1) La frazione di un numero intero si  considera  come denominatore uguale a 1

2) Una frazione avente numeratore e denominatore uguali, la frazione è uguale a 1

3) Una frazione avente come numeratore zero e denominatore qualsiasi numero è uguale a zero.

4) Una frazione avente come denominatore zero non ha alcun significato

5) Una frazione avente  numeratore e denominatore zero e indeterminata

6) Una frazione propria è minore dell’ unità.

7) Una frazione impropria è maggiore dell’ unità

8) In una frazione apparente dividendo numeratore e denominatore si ottiene un numero naturale

9) Una frazione impropria è maggiore di una frazione propria

10) Una frazione apparente è maggiore di una frazione propria

11) Due frazioni che hanno lo stesso numeratore è maggiore quella frazione che ha il denominatore   minore.

12) Due frazioni che hanno lo stesso denominatore è maggiore quella frazione che ha il
numeratore maggiore.

Autore dell'articolo: rino