Polinomi

Si chiama polinomio, la somma algebrica di due o più monomi, che si dicono termini del polinomio.

 Ricordiamo quando in una lettera non compare nessun esponente è di 1° grado.

La somma di due monomi si dice binomio.
La somma di tre monomi si dice trinomio.

Il grado di un polinomio è il massimo dei gradi dei suoi termini.

ad esempio:  2a⁵ bc +4c⁸d + ab²d³ + 4 in questo caso il grado assoluto del polinomio è 9.
Infatti il monomio c⁸d è di 9 gradi: 8 gradi della lettera c e un grado della lettera d, quindi 8+1 =9,
gli altri monomi hanno grado minore.
Il monomio 2a⁵ bc è di 7 gradi: 5 gradi della lettera a e 1 grado della lettera b e 1 grado della lettera c, quindi 5+1+1 = 7
Il monomio ab²d³ è di 6 gradi: 1 grado della lettera a e 2 gradi della lettera b e 3 gradi della lettera d, quindi  1+2+3 = 6
 
Il grado di un polinomio rispetto a una lettera e il massimo esponente che quella lettera compare nel polinomio.
ad esempio:2a⁵ bc +4a²c⁸d + ac⁴b²d³

è di 5° rispetto alla lettera a
è di 2° rispetto alla lettera b
è di 8° rispetto alla lettera c
è di 3° rispetto alla lettera d

Il polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi monomi hanno lo stesso grado.

Ad esempio: 2a⁵ bc +4c⁶d +25 ab³d³

è un polinomio omogeneo di 7° grado

1° monomio = 5+1+1 =7
2° monomio = 6 + 1 = 7
3° monomio = 1 + 3 + 3 = 7

Il polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti o crescenti di una sua lettera,
quando l' esponente di essa va sempre decrescendo o crescendo  passando da un termine successivo all' altro.

Ad esempio:
Polinomio ordinato crescente rispetto alla lettera b
12a⁵ b³c +21b⁴d +25 ab⁵d³

Polinomio ordinato decrescente rispetto alla lettera a
12a³ b³c +21a²d +25 ab⁵d³

Un polinomio si dice completo, quando in esso figurano tutte le potenze di quella lettera,
dal massimo grado al grado zero.

Ad esempio è completo rispetto alla lettera a:
12a³ b³c +21a²d +25 ab +7 b²c⁶

Un polinomio si dice incompleto quando in esso non figurano tutte le potenze di quella lettera,
dal massimo grado al grado zero.

Ad esempio:
a+21a³ + a⁵ +7 a⁷+ a⁸

In questo esempio è un polinomio incompleto perchè mancano i monomi di grado zero, grado 2, grado 4, grado 6.


Un polinomio si dice intero, se tutti i suoi monomi sono interi.

ad esempio: 12a² bc³ + 7ac + 3

Un polinomio si dice fratto, se uno dei monomi è fratto, cioè basta una lettera di qualsiasi monomio che
compare al denominatore.

ad esempio: 15ab + 24 bc +21 az
                                a


Le quattro operazione con i polinomi:

Addizione:
Per sommare un polinomio si aggiungono i singoli termini.

Sottrazione
Per sottrarre un polinomio si aggiungono i singoli termini con il segno cambiato

Moltiplicazione 
Per moltiplicare un monomio per un polinomio, si moltiplica il monomio per ogni termine del polinomio.
Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio  

Divisione
Per dividere un monomio per un polinomio si divide ogni termine del polinomio per il monomio   
 

                                      Prodotti notevoli, sono alcuni particolari prodotti:

1) Il prodotto di una somma di monomi per la loro differenza è uguale alla differenza dei loro quadrati

Ad esempio:

( a + b ) *  ( a - b )  = a²  - b²   

2) Il quadrato di un binomio è uguale alla somma algebrica dei quadrati dei due monomi e del doppio prodotto
     di questi monomi  

Esempio n° 1:

(a + b)²  = a² + 2ab + b²

Esempio n° 2:

(a - b)²  = a² - 2ab + b²

3) Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma algebrica dei quadrati dei suoi termini e dei doppi prodotti di ogni
    termine per i successivi.

Esempio:

( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

4) Il cubo di un binomio è la somma algebrica dei cubi dei tre monomi, aumentata dei tripli prodotti del quadrato
    di ognuno di essi per ciascuno dei rimanenti e del sestuplo del prodotto dei tre monomi

Esempio:

( a + b +c )³ = a³ + b³ + c³ + 3 a² b + 3 a² c + 3 b² a + 3 b² c + 3 c² a + 3 c² b + 6abc