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matematica: polinomio

Si chiama polinomio, la somma algebrica di due o più monomi, che si dicono termini del polinomio.

Ricordiamo quando in una lettera non compare nessun esponente è di 1° grado.

La somma di due monomi si dice binomio.
La somma di tre monomi si dice trinomio.

Il grado di un polinomio è il massimo dei gradi dei suoi termini.

ad esempio:  2a5 bc +4c8d + ab2d3 + 4 in questo caso il grado assoluto del polinomio è 9.
Infatti il monomio c8d è di 9 gradi: 8 gradi della lettera c e un grado della lettera d, quindi 8+1 =9,  gli altri monomi hanno grado minore.

Il monomio 2a5 bc è di 7 gradi: 5 gradi della lettera a e 1 grado della lettera b e 1 grado della lettera c, quindi 5+1+1 = 7

Il monomio ab2d3 è di 6 gradi: 1 grado della lettera a e 2 gradi della lettera b e 3 gradi della lettera d, quindi  1+2+3 = 6

Il grado di un polinomio rispetto a una lettera e il massimo esponente che quella lettera compare nel polinomio.
ad esempio:2a
5 bc +4a2c8d + ac4b2d3

è di 5° rispetto alla lettera a
è di 2° rispetto alla lettera b
è di 8°
rispetto alla lettera c
è di 3°
rispetto alla lettera d

Il polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi monomi hanno lo stesso grado.

Ad esempio: 2a5 bc +4c6d +25 ab3d3

è un polinomio omogeneo di 7° grado

1° monomio = 5+1+1 =7
2° monomio = 6 + 1 = 7
3° monomio = 1 + 3 + 3 = 7

Il polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti o crescenti di una sua lettera, quando l’ esponente di essa va sempre decrescendo o crescendo  passando da un termine successivo all’ altro.

Ad esempio:
Polinomio ordinato crescente rispetto alla lettera b
12a5 b3c +21b4d +25 ab5d3

Polinomio ordinato decrescente rispetto alla lettera a
12a
3 b3c +21a2d +25 ab5d3

Un polinomio si dice completo, quando in esso figurano tutte le potenze di quella lettera,
dal massimo grado al grado zero.

Ad esempio è completo rispetto alla lettera a:
12a3 b3c +21a2d +25 ab +7 b2c6

Un polinomio si dice incompleto quando in esso non figurano tutte le potenze di quella lettera, dal massimo grado al grado zero.

Ad esempio:
a+21a3 + a5 +7 a7+ a8

In questo esempio è un polinomio incompleto perchè mancano i monomi di grado zero, grado 2, grado 4, grado 6.

Un polinomio si dice intero, se tutti i suoi monomi sono interi.

ad esempio: 12a2 bc3 + 7ac + 3

Un polinomio si dice fratto, se uno dei monomi è fratto, cioè basta una lettera di qualsiasi monomio che compare al denominatore.

ad esempio: 15ab + 24 bc +21 az
a

Le quattro operazione con i polinomi:

Addizione:
Per sommare un polinomio si aggiungono i singoli termini.

Sottrazione
Per sottrarre un polinomio si aggiungono i singoli termini con il segno cambiato

Moltiplicazione
Per moltiplicare un monomio per un polinomio, si moltiplica il monomio per ogni termine del polinomio.
Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio

Divisione
Per dividere un monomio per un polinomio si divide ogni termine del polinomio per il monomio

                                      Prodotti notevoli, sono alcuni particolari prodotti:

1) Il prodotto di una somma di monomi per la loro differenza è uguale alla differenza dei loro quadrati

Ad esempio:

( a + b ) *  ( a – b )  = a2  – b2

2) Il quadrato di un binomio è uguale alla somma algebrica dei quadrati dei due monomi e del doppio prodotto      di questi monomi

Esempio n° 1:

(a + b)2  = a2 + 2ab + b2

Esempio n° 2:

(a – b)2  = a2 – 2ab + b2

3) Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma algebrica dei quadrati dei suoi termini e dei doppi prodotti di ogni     termine per i successivi.

Esempio:

( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

4) Il cubo di un binomio è la somma algebrica dei cubi dei tre monomi, aumentata dei tripli prodotti del quadrato     di ognuno di essi per ciascuno dei rimanenti e del sestuplo del prodotto dei tre monomi

Esempio:

( a + b +c )3 = a3 + b3 + c3 + 3 a2 b + 3 a2 c + 3 b2 a + 3 b2 c + 3 c2 a + 3 c2 b + 6abc

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matematica: monomi

Si dice monomio un’ espressione algebrica nella quale non figuri il segno di addizione, o di sottrazione.

Ad esempio: 45ab è un monomio

Il fattore numerico di un monomio ( 45 ) si dice coefficiente del monomio.
Il prodotto dei fattori letterali ( ab ) si dice parte letterale.

un monomio si dice intero, quando in esso non figurano delle frazioni con  lettere nel denominatore.

Il grado di un monomio intero, rispetto ad una delle lettere che figurano in esso è l’ esponente di quella lettera.

Il grado complessivo di un monomio intero è la somma degli esponenti di tutte le lettere che vi figurano.

Ad esempio:

4 a2 b5c6 d3

Il monomio è di secondo grado rispetto alla lettera a
Il monomio è di quinto grado rispetto alla lettera b
Il monomio è di sesto grado rispetto alla lettera c
Il monomio è di terzo grado rispetto alla lettera d

Il suo grado complessivo di un monomio intero è la somma degli esponenti di tutte  le lettere che vi figurano

4 a2 b5c6 d3

Il grado complessivo di questo monomio è 2+5+6+3 = 16, è di sedicesimo grado.

Due monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale.

Ad esempio:

4 a3 b2c4z        20 a3 b2c4z

Addizione monomi simili
La somma di più monomi simili è un monomio simile ai dati ed il cui coefficiente è
la somma algebrica dei coefficienti dei singoli addendi.

Ad esempio:
7a4 b2 m3 + 5a4 b2 m – 3a4 b2 m – 2a4 b2 m + 4a4 b2 m = 11a4 b2 m3

Se due o più monomi non sono simili, la loro somma non si può effettuare vedi polinomio.

Sottrazione monomi simili

La differenza di due monomi simili è uguale a un monomio simile ai dati avente per
coefficiente la differenza dei loro coefficienti.

Ad esempio:
7a
4 b2 m3 –  5a4 b2 m = 2a4 b2 m3

Sottrazione di due monomi
La differenza di due monomi è uguale alla somma del primo e dell’ opposto del secondo.

Ad esempio:
1)  7a4 b2 m3   –  (+ 4x2 z2 y3) =  7a4 b2 m3   +  ( – 4x2 z2 y3)  = 7a4 b2 m3   –  4x2 z2 y3

2) 3f2 s5 c6   –  ( – 5z2 h2 y3) =  3f2 s5 c6   +  ( + 5z2 h2 y3) =  3f2 s5 c6   + 5z2 h2 y3

Moltiplicazione di due o più monomi
Il prodotto di più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei loro coefficienti e la
cui parte  letterale è formata dalle diverse lettere che figurano nei vari monomi, ciascuna
scritta una  volta sola, con un esponente uguale alla somma degli esponenti che talelettera ha ne diversi monomi.

(7a4 b2 m)  *  (4a2 b3 y2)  =
+28
a6 b5m7 y2

Divisione di due monomi
Un monomio si dice che è divisibile per un altro se contiene tutte le lettere di quest’ ultimo
con un esponente non inferiore.

La divisione di due monomi
è uguale ha un monomio che ha per coefficiente il quoto dei coefficienti e la cui parte letterale  è formata da tutte le lettere del dividendo,  ciascuna delle quali con un esponente uguale  alla differenza degli esponenti che essa ha nel  dividendo e nel divisore.

Ad esempio:
(27a4 b6 m) : (3a4 b2 m3 )=
9a
4-4 b62 m83 =
9a
0 b4 m5 =
9 b
4 m5

La potenza di un monomio
La potenza di un monomio è il monomio che si ha elevando a quella potenza il coefficiente, e moltiplicando per l’ esponente della potenza gli esponenti dei fattori letterali del monomio.

Ad esempio:
( 2a
4 b2 c3)3=
( 2a4 b2 c3)3=
23*1a4*3 b2*3 c3*3=
23a12b6c9

Massimo comune divisore
Il M.C.D. di due o più monomi a coefficienti interi è il monomio che ha per parte letterale le lettere comuni a tutti i monomi, presa ciascuna una sola volta col minore degli esponenti con cui figura nei dati monomi.
Il coefficiente è il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti numerici di quei monomi.
 

Minimo comune multiplo di monomi
Il m.c.m. di due o più monomi è un monomio avente per parte letterale tutte le lettere comuni e non comuni a tutti i monomi, presi ciascuna una sola volta col massimo degli esponenti con cui figurano i monomi, per coefficiente i valori assoluti dei coefficienti di quei monomi.

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matematica: equazione di primo grado

Una equazione algebrica contenente una incognita è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, che soddisfa la relazione.

Il grado di una equazione è il grado massimo con cui compare l’ incognita.

L’ equazione di primo grado l’ incognita x ha come esponente 1

I valori che soddisfano l’ equazione sono detti radici o soluzioni

1) Si può trasportare un termine da un membro all’ altro, cambiandolo di segno.

Ad esempio:

x – 2 = 3         x= +2 + 3

2) Si possono cambiare di segno ambo i membri

2) Possiamo moltiplicare ambo i membri per uno stesso numero diverso da zero

3) Possiamo dividere ambo i membri per uno stesso numero

Per risolvere una equazione

Al primo membro mettiamo  tutti termini con l’ incognita, al secondo membro mettiamo tutti i termini noti,  ricorda se trasporti un temine da un membro all’ altro devi cambiare di segno.

Se compaiono più termini con la x , questi vanno ridotti a un solo termine facendo le apposite operazioni.

Se una equazione compaiono  dei denominatori, possiamo toglierli moltiplicando ambo i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori.

Esempio:

4x + 3 = 3x + 6 + 5

4x – 3x = -3 +6 +5

1x = 8

X = 8 : 1 = 8   ( radice o soluzione )

Se noi facciamo la prova mettendo al posto della x l’ otto, notiamo che soddisfa la relazione dell’ equazione data.

4 * 8 + 3 = 3 * 8 + 6 + 5

32 +3 = 24 + 6 + 5

35 = 35

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Italiano: AGGETTIVO QUALIFICATIVO

L’ aggettivo qualificativo è quella parte variabile del discorso che si aggiunge al nome per indicarne una qualità.

L’ aggettivo qualificativo è sempre dello stesso genere e dello stesso numero del nome al quale si riferisce.

( Gli aggettivi maschili singolari in o hanno il plurale in i, quelli femminili singolari in hanno il plurale in e.
Gli aggettivi maschili in
go e co hanno il plurale in ghi, ci, chi, quelli femminili singolari in ga e ca hanno il plurale in ghe e che.
Gli aggettivi maschili e femminili in
e hanno il plurale in i. )

Ad esempio:
uomo onesto  – uomini onesti
viale largo      viali larghi

 Aggettivo qualificativo di grado positivo  indica una qualità espressa nel modo più semplice, senza confronti.

ad esempio:
Il cane è un animale intelligente

Aggettivo qualificativo di grado comparativo stabilisce un paragone fra due persone, due animali, o due cose.

ad esempio:
Il gatto è più agile del cane

Aggettivo qualificativo di grado superlativo indica il grado più elevato con il quale si può  esprimere una qualità :

– è superlativo assoluto quando non è possibile stabilire confronti.

ad esempio: Giulio è bravissimo

– è superlativo relativo quando si stabilisce un paragone tra una persona, un animale o una cosa e   molte persone, molti animali, molte cose

– superlativo relativo può essere anche di minoranza.
Ad esempio: Giulio è il più diligente fra i suoi compagni.

N.B. Il superlativo relativo si forma premettendo l’ articolo al comparativo di maggioranza.

Il superlativo assoluto si forma in vari modi:

– aggiungendo la desinenza – ssimo al maschile plurale dell’ aggettivo.
ad esempio: bello –  bellissimo

– aggiungendo, solo ad alcuni aggettivi, la desinenza –errimo
ad esempio:  salubre –   saluberrimo

– aggiungendo, ad alcuni aggettivi, la desinenza –entissimo
ad esempio: magnifico –  magnificentissimo

– ripetendo il positivo
ad esempio: stanco stanco morto

– aggiungendo al positivo uno dei prefissi arci*, ultra*, stra*.
ad esempio:  ricco – arciricco – ultraricco – straricco

Facendo precedere il positivo da parole quali:  assai, molto,oltremodo.

ad esempio: assai stanco

  Comparativi e superlativi irregolari

 

         Positivo  Comparativo
alto superiore
più alto
basso inferiorepiù basso
buono migliorepiù buono
cattivo peggiorepiù cattivo
esterno esteriorepiù esterno
grande maggiore più grande
interno interiore più interno
piccolo minore più piccolo

 

Superlativo   assoluto Superlativo relativo
sommo o supremo
altissimo
infimo bassissimo
ottimo buonissimo il miglioreil più buono
pessimo cattivissimo il peggioreil più cattivo
estremo
massimo grandissimo il maggioreil più grande
intimo
minimo piccolissimo il minoreil più piccolo