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matematica: massimo comune divisore e minimo comune multiplo

MASSIMO COMUNE DIVISORE
Il massimo comune divisore di due o più numeri dati, è il più grande fra  i loro divisori comuni.

Il massimo comune divisore di due o più numeri si trova mediante la scomposizione in fattori primi

e poi si moltiplicano i fattori primi comuni presi una sola volta, con il minore esponente.

Due o più numeri si dicono primi fra di loro se il loro Massimo comune divisore è uno.

Ad esempio: trova il massimo comune divisore dei seguenti numeri:  35 , 25 , 90.

35|5                     25|5             90|2
7| 7                     5 |5             45|3
1|                         1|               15|3
5|5
1|

35= 5 * 7

25= 52

90= 2 * 32 * 5

M.C.D = 5

 

minimo comune multiplo

Il minimo comune multiplo di due o più numeri dati, è il minore fra i loro multipli comuni.

Il minimo comune di due o più numeri si trova mediante la scomposizione in fattori primi    e poi si moltiplicano i fattori primi comuni e non comuni presi una sola volta, con il maggiore    esponente.

35|5                     25|5             90|2
7| 7                     5 |5             45|3
1|                         1|               15|3
5|5
1|

35= 5 * 7

25= 52

90= 2 * 32 * 5

m.c.m. =  2 * 32  *5* 7 = 2 * 9 * 25 * 7 = 3150

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matematica: frazioni

  •  Dicesi unità frazionaria ciascuna delle parti uguali nelle quali si può suddividere una data unità
    .
  • Una o più unità frazionarie dello stesso tipo costituiscono, nel loro insieme, una frazione.

        Termini della frazione:

     3                  3 si chiama numeratore
4                 4 si chiama denominatore

                                      linea di frazione

 

                     La linea di frazione  indica che la quantità intera è stata divisa in parti uguali.

 

Il denominatore  indica  in quante parti uguali è stata divisa la parte intera

 

Il numeratore indica quante di queste parti si considerano.

ad esempio:        3           significa che una torta è stata divisa in quattro parti uguali e se ne sono                        4            prese tre.

Ogni frazione rappresenta il quoziente esatto della divisione fra il numeratore   e

    il denominatore.

 

                                             Classificazioni delle frazioni

Una frazione si dice propria quando il numeratore è minore del denominatore.

ad esempio:       3                 7    
5                 8

Una frazione si dice impropria   quando il numeratore è maggiore del denominatore.
( indica più di una quantità intera )

ad esempio:         9        è formata da       5      +    4     cioè da una quantità intera più quattro quinti                     5                                          5              5     di un’ altra quantità intera.

Una frazione si dice apparente  quando il numeratore è multiplo o uguale al denominatore.

ad esempio:       9                4   
3                2

Due frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano una stessa quantità ma che
hanno numeratori e denominatori diversi.

ad esempio:       7            21    
5           15     

                                                      Proprietà delle frazioni

  • Proprietà fondamentale o invariantiva delle frazioni.  Il valore di una frazione non cambia  moltiplicando o dividendo dove è possibile per uno stesso numero sia il numeratore che il  numeratore.

    ad esempio:           8   * 4             32    
    3   * 4             12

     Classi di equivalenza

    Appartengono a una classe di equivalenza tutte le frazioni equivalenti di una frazione.

    ad esempio:   Classe         8      [  8        16      24    ]
    3     [  3          6        9     ]


    Operazioni con le frazioni

    Addizione.-     La somma di due o più frazioni aventi uguale denominatore è uguale
    ha una frazione avendo per denominatore lo stesso denominatore e                                    per  numeratore la somma dei numeratori.

    Ad esempio:    15    +   8    =    15 +8   =     23  
    3          3             3               3

    Sottrazione.-    La differenza di due o più frazioni aventi uguale denominatore è  uguale una una frazione avendo per denominatore lo stesso denominatore e per
    numeratore la differenza  dei numeratori. 

      Ad esempio:    15    –   8    =    15 – 8   =     7  
3          3             3              3

 Se le frazioni hanno denominatori diversi per sommare o sottrarre ecco il procedimento:

  •  Si calcola il m.c.m. ( minimo comune multiplo ) dei denominatori.

  • Il minimo comune multiplo ottenuto diventa il denominatore di tutte le frazioni coinvolte

  •  Il minimo comune multiplo così ottenuto si divide per il primo denominatore e il risultato,   si moltiplica per il primo numeratore e così via

    Ad esempio:     7    –   8    =    
    4        6

    Per calcolare il m.c.m.  di due o più numeri, si scompongono in numeri in fattori primi e si prendono i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente.

    In questo caso:

    4|2
    2|2
    1|
    6|2
    3|3
    1|

    4 = 22
    6= 2*3
    m.c.m = 22  * 3 = 4 * 3 = 12

   Quindi il nuovo denominatore diventa 12

quindi 12 (m.c.m – nuovo denominatore ) : 4 (vecchio denominatore della prima frazione) * 7

( vecchio numeratore  della prima frazione) = 3 * 7 = 21    


12 (m.c.m – nuovo denominatore ) :6  (vecchio denominatore della seconda frazione)* 8

( vecchio numeratore  della seconda frazione)= 2 * 8 = 16

Quindi:

  21  – 16         =      5     
12                   12

       

 Moltiplicazione

Il prodotto di due o più frazioni è uguale ad una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

ad esempio:

 5  *      4       =  20
 3          7           21

  Divisione
Il quoziente di due frazioni si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’ inversa della seconda.

 Ad esempio:

 15   :      7      =  15     *    2     =    30
   3            2            3          7            21

   

                                                                   Numeri misti
Si dice numero misto la somma di un numero intero e di una frazione propria.

ad esempio: 5 +   3
                                       4

  Numero misto a una frazione impropria

Un numero misto è uguale da una frazione impropria avente lo stesso denominatore della parte  frazionaria. Il suo numeratore si ottiene moltiplicando la parte intera per il denominatore e  aggiungendo al prodotto ottenuto il numeratore della parte frazionaria.

Esempio:

3 +     4          =    15 + 4   = 19
             5                     5           5

Da una frazione impropria  a un numero misto

19    =                          19: 5 = 3  con il resto di 4
5

   Per trasformare una frazione impropria a un numero misto, come numero intero il
quoziente della divisione sommando una frazione propria come denominatore lo stesso
denominatore e per numeratore il resto della divisione.

Allora:  

19    =     3 +      4                       19: 5 = 3  con il resto di 4
  5                       5

                                                                   Una frazione ridotta ai minimi termini

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando i suoi termini sono numeri primi fra
di loro, e il loro Massimo comune divisore è uno.

Ad esempio:

 222    =                              222= 2 * 3 * 37
                         30                                        30= 2 * 3 * 5
M.C.D. = 2 * 3 = 6

222 : 6 =37              30: 6 = 5

  37     questa frazione è ridotta ai minimi termini.
    5

                                                               Potenza di una frazione

Per elevare a potenza una frazione si elevano a quella potenza sia il numeratore che il denominatore.

                                                                     Considerazioni

1) La frazione di un numero intero si  considera  come denominatore uguale a 1

2) Una frazione avente numeratore e denominatore uguali, la frazione è uguale a 1

3) Una frazione avente come numeratore zero e denominatore qualsiasi numero è uguale a zero.

4) Una frazione avente come denominatore zero non ha alcun significato

5) Una frazione avente  numeratore e denominatore zero e indeterminata

6) Una frazione propria è minore dell’ unità.

7) Una frazione impropria è maggiore dell’ unità

8) In una frazione apparente dividendo numeratore e denominatore si ottiene un numero naturale

9) Una frazione impropria è maggiore di una frazione propria

10) Una frazione apparente è maggiore di una frazione propria

11) Due frazioni che hanno lo stesso numeratore è maggiore quella frazione che ha il denominatore   minore.

12) Due frazioni che hanno lo stesso denominatore è maggiore quella frazione che ha il
numeratore maggiore.

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matematica: equazione di primo grado

Una equazione algebrica contenente una incognita è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, che soddisfa la relazione.

Il grado di una equazione è il grado massimo con cui compare l’ incognita.

L’ equazione di primo grado l’ incognita x ha come esponente 1

I valori che soddisfano l’ equazione sono detti radici o soluzioni

1) Si può trasportare un termine da un membro all’ altro, cambiandolo di segno.

Ad esempio:

x – 2 = 3         x= +2 + 3

2) Si possono cambiare di segno ambo i membri

2) Possiamo moltiplicare ambo i membri per uno stesso numero diverso da zero

3) Possiamo dividere ambo i membri per uno stesso numero

Per risolvere una equazione

Al primo membro mettiamo  tutti termini con l’ incognita, al secondo membro mettiamo tutti i termini noti,  ricorda se trasporti un temine da un membro all’ altro devi cambiare di segno.

Se compaiono più termini con la x , questi vanno ridotti a un solo termine facendo le apposite operazioni.

Se una equazione compaiono  dei denominatori, possiamo toglierli moltiplicando ambo i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori.

Esempio:

4x + 3 = 3x + 6 + 5

4x – 3x = -3 +6 +5

1x = 8

X = 8 : 1 = 8   ( radice o soluzione )

Se noi facciamo la prova mettendo al posto della x l’ otto, notiamo che soddisfa la relazione dell’ equazione data.

4 * 8 + 3 = 3 * 8 + 6 + 5

32 +3 = 24 + 6 + 5

35 = 35

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matematica: addizione

Addizione.-

14 +      addendi o termine dell’ addizione
20 +      addendi o termine dell’ addizione
____    linea
34        somma  o totale

La somma di  due  numeri interi è quel numero intero cui si ottiene contando, dopo il primo, tanti numeri della successione naturale quante sono le unità del secondo.

La somma di più numeri interi è quel numero che si ottiene addizionando al primo addendo il secondo, alla somma ottenuta il terzo, e cosi via fino ad esaurire tutti gli addendi.

Proprietà commutativa._  Cambiando l’ ordine degli addendi, la somma non cambia.

Proprietà associativa._   la somma di tre o più numeri non cambia sostituendo a due o più di  essi la loro somma effettuata.

Proprietà dissociativa. _  Una somma non cambia sostituendo ad uno o più dei suoi
addendi, altri addendi che abbiano per somma l’ addendo sostituito.

Prova dell’ addizione._
1) La prova dell’ addizione si effettua ripetendo l’ operazione, dopo aver cambiato   l’ ordine degli addendi.

Se le due somme coincidono è molto probabile ma non è assolutamente certo che il risultato sia esatto.

    Esempio:
25 +  
13 +
21 =
59                            

PROVA
21+
25+
13=
59  

 Quindi per essere ancora più sicuri 

2)
  La prova dell’ addizione si potrebbe effettuare anche sottraendo la somma o totale con uno   degli addendi e per risultato deve dare lo stesso numero dell’ altro addendo

 somma o totale – addendi ( 2 ) = addendi (1)

ad esempio:
15+     addendi (1)                            46-
31=    addendi (2)                             31=
                            46      somma o totale                        15